Derivada de xtg(sqrt(x))

Solución

Ha introducido [src]

     /  ___\
x*tan\\/ x /

$$x \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$$

x*tan(sqrt(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$
Como resultado de: $\frac{x \left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right)}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} + \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$
Simplificamos:

$\frac{\sqrt{x} + \sin{\left(2 \sqrt{x} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{x} + \sin{\left(2 \sqrt{x} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

  ___ /       2/  ___\\             
\/ x *\1 + tan \\/ x //      /  ___\
----------------------- + tan\\/ x /
           2

$$\frac{\sqrt{x} \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{2} + \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$$

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Segunda derivada [src]

/       2/  ___\\ /          /              /  ___\\\
|1   tan \\/ x /| |  4       |   1     2*tan\\/ x /||
|- + -----------|*|----- + x*|- ---- + ------------||
\4        4     / |  ___     |   3/2        x      ||
                  \\/ x      \  x                  //

$$\left(x \left(\frac{2 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) + \frac{4}{\sqrt{x}}\right) \left(\frac{\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$

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Tercera derivada [src]

                  /           /            /  ___\     /       2/  ___\\        2/  ___\\         /  ___\\
/       2/  ___\\ |   6       | 3     6*tan\\/ x /   2*\1 + tan \\/ x //   4*tan \\/ x /|   12*tan\\/ x /|
\1 + tan \\/ x //*|- ---- + x*|---- - ------------ + ------------------- + -------------| + -------------|
                  |   3/2     | 5/2         2                 3/2                3/2    |         x      |
                  \  x        \x           x                 x                  x       /                /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                    8

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(x \left(- \frac{6 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}\right) + \frac{12 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} - \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{8}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Definida a trozos:

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