Derivada de x/sqrt(1+4x^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{4 x^{2} + 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 x^{2} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $4 x^{2} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $8 x$

         Como resultado de: $8 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{4 x}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}{4 x^{2} + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{1}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{1}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$