Derivada de y=tan(x/3)-(p/4)

1. diferenciamos $- \frac{p}{4} + \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

   3. La derivada de una constante $- \frac{p}{4}$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{1}{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$