Derivada de (x*x^(2/3))/(e^(-3x)+2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{\frac{5}{3}} e^{3 x}$ y $g{\left(x \right)} = 2 e^{3 x} + 1$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x^{\frac{5}{3}}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{\frac{5}{3}}$ tenemos $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

      $g{\left(x \right)} = e^{3 x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 e^{3 x}$

      Como resultado de: $3 x^{\frac{5}{3}} e^{3 x} + \frac{5 x^{\frac{2}{3}} e^{3 x}}{3}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $2 e^{3 x} + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 3 x$.

         2. Derivado $e^{u}$ es.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $3 e^{3 x}$

         Entonces, como resultado: $6 e^{3 x}$

      Como resultado de: $6 e^{3 x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 6 x^{\frac{5}{3}} e^{6 x} + \left(3 x^{\frac{5}{3}} e^{3 x} + \frac{5 x^{\frac{2}{3}} e^{3 x}}{3}\right) \left(2 e^{3 x} + 1\right)}{\left(2 e^{3 x} + 1\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{\frac{2}{3}} \left(9 x + 10 e^{3 x} + 5\right) e^{3 x}}{3 \left(4 e^{6 x} + 4 e^{3 x} + 1\right)}$

Respuesta:

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \left(9 x + 10 e^{3 x} + 5\right) e^{3 x}}{3 \left(4 e^{6 x} + 4 e^{3 x} + 1\right)}$