Derivada de x*exp(-x)(sqrt(x)-3)*(4x^3-3x+2)^2

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right)^{2}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 4 x^{3} - 3 x + 2$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right)$:

         1. diferenciamos $4 x^{3} - 3 x + 2$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-3$

            3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

               Entonces, como resultado: $12 x^{2}$

            Como resultado de: $12 x^{2} - 3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\left(12 x^{2} - 3\right) \left(8 x^{3} - 6 x + 4\right)$

      $h{\left(x \right)} = \sqrt{x} - 3$; calculamos $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $\sqrt{x} - 3$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Como resultado de: $\frac{\sqrt{x} \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right)^{2}}{2} + x \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(12 x^{2} - 3\right) \left(8 x^{3} - 6 x + 4\right) + \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right)^{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- x \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right)^{2} e^{x} + \left(\frac{\sqrt{x} \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right)^{2}}{2} + x \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(12 x^{2} - 3\right) \left(8 x^{3} - 6 x + 4\right) + \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right)^{2}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(4 x^{3} - 3 x + 2\right) \left(\sqrt{x} \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right) + 12 x \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(4 x^{2} - 1\right) - 2 x \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right) + 2 \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right)\right) e^{- x}}{2}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x^{3} - 3 x + 2\right) \left(\sqrt{x} \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right) + 12 x \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(4 x^{2} - 1\right) - 2 x \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right) + 2 \left(\sqrt{x} - 3\right) \left(4 x^{3} - 3 x + 2\right)\right) e^{- x}}{2}$