Derivada de x*exp(-x)9^x*sin7x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 9^{x} x \sin{\left(7 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = 9^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. $\frac{d}{d x} 9^{x} = 9^{x} \log{\left(9 \right)}$

      $h{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 7 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $7$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $7 \cos{\left(7 x \right)}$

      Como resultado de: $9^{x} x \log{\left(9 \right)} \sin{\left(7 x \right)} + 7 \cdot 9^{x} x \cos{\left(7 x \right)} + 9^{x} \sin{\left(7 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- 9^{x} x e^{x} \sin{\left(7 x \right)} + \left(9^{x} x \log{\left(9 \right)} \sin{\left(7 x \right)} + 7 \cdot 9^{x} x \cos{\left(7 x \right)} + 9^{x} \sin{\left(7 x \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(\frac{9}{e}\right)^{x} \left(- x \sin{\left(7 x \right)} + 2 x \log{\left(3 \right)} \sin{\left(7 x \right)} + 7 x \cos{\left(7 x \right)} + \sin{\left(7 x \right)}\right)$

Respuesta:

$\left(\frac{9}{e}\right)^{x} \left(- x \sin{\left(7 x \right)} + 2 x \log{\left(3 \right)} \sin{\left(7 x \right)} + 7 x \cos{\left(7 x \right)} + \sin{\left(7 x \right)}\right)$