Derivada de x^3/(2(x+1)^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$ y $g{\left(x \right)} = 2 \left(x + 1\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = x + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 x + 2$

      Entonces, como resultado: $4 x + 4$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x^{3} \left(4 x + 4\right) + 6 x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{4 \left(x + 1\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{2 \left(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{2 \left(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}$