Derivada de y=cosx*sin2x+tgx*3x

1. diferenciamos $x 3 \tan{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$

   2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 3 \tan{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{3 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      $g{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $\frac{3 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 3 \tan{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $\frac{3 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 3 \tan{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{2} + 3 \tan{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\frac{3 x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{2} + 3 \tan{\left(x \right)}$