Derivada de (x*(e^x+1)-2(e^x-1))/x^3

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(e^{x} + 1\right) - 2 e^{x} + 2$ y $g{\left(x \right)} = x^{3}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x \left(e^{x} + 1\right) - 2 e^{x} + 2$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         Entonces, como resultado: $- 2 e^{x}$

      3. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = e^{x} + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $e^{x} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Derivado $e^{x}$ es.

            Como resultado de: $e^{x}$

         Como resultado de: $x e^{x} + e^{x} + 1$

      Como resultado de: $x e^{x} - e^{x} + 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{x^{3} \left(x e^{x} - e^{x} + 1\right) - 3 x^{2} \left(x \left(e^{x} + 1\right) - 2 e^{x} + 2\right)}{x^{6}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} e^{x} - 4 x e^{x} - 2 x + 6 e^{x} - 6}{x^{4}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} e^{x} - 4 x e^{x} - 2 x + 6 e^{x} - 6}{x^{4}}$