Derivada de x*sqrt(2*ln(x)+2)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{2 \log{\left(x \right)} + 2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 \log{\left(x \right)} + 2$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 \log{\left(x \right)} + 2\right)$:

      1. diferenciamos $2 \log{\left(x \right)} + 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

            Entonces, como resultado: $\frac{2}{x}$

         2. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         Como resultado de: $\frac{2}{x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{x \sqrt{2 \log{\left(x \right)} + 2}}$

   Como resultado de: $\sqrt{2 \log{\left(x \right)} + 2} + \frac{1}{\sqrt{2 \log{\left(x \right)} + 2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x \right)} + \frac{3}{2}\right)}{\sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x \right)} + \frac{3}{2}\right)}{\sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}$