Derivada de y=(2x^3+5)^4×∛x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \left(2 x^{3} + 5\right)^{4}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x^{3} + 5$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x^{3} + 5\right)$:

      1. diferenciamos $2 x^{3} + 5$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            Entonces, como resultado: $6 x^{2}$

         2. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

         Como resultado de: $6 x^{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $24 x^{2} \left(2 x^{3} + 5\right)^{3}$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{x}$ tenemos $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

   Como resultado de: $24 x^{\frac{7}{3}} \left(2 x^{3} + 5\right)^{3} + \frac{\left(2 x^{3} + 5\right)^{4}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(2 x^{3} + 5\right)^{3} \left(74 x^{3} + 5\right)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x^{3} + 5\right)^{3} \left(74 x^{3} + 5\right)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$