Derivada de y=(2x^5-4x)*(4x^-3+8)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 4 \left(2 x^{3} + 1\right) \left(2 x^{5} - 4 x\right)$ y $g{\left(x \right)} = x^{3}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = 2 x^{3} + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $2 x^{3} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

               Entonces, como resultado: $6 x^{2}$

            Como resultado de: $6 x^{2}$

         $g{\left(x \right)} = 2 x^{5} - 4 x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $2 x^{5} - 4 x$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-4$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{5}$ tenemos $5 x^{4}$

               Entonces, como resultado: $10 x^{4}$

            Como resultado de: $10 x^{4} - 4$

         Como resultado de: $6 x^{2} \left(2 x^{5} - 4 x\right) + \left(2 x^{3} + 1\right) \left(10 x^{4} - 4\right)$

      Entonces, como resultado: $24 x^{2} \left(2 x^{5} - 4 x\right) + 4 \left(2 x^{3} + 1\right) \left(10 x^{4} - 4\right)$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{x^{3} \left(24 x^{2} \left(2 x^{5} - 4 x\right) + 4 \left(2 x^{3} + 1\right) \left(10 x^{4} - 4\right)\right) - 12 x^{2} \left(2 x^{3} + 1\right) \left(2 x^{5} - 4 x\right)}{x^{6}}$

2. Simplificamos:

   $80 x^{4} + 16 x - 32 + \frac{32}{x^{3}}$

Respuesta:

$80 x^{4} + 16 x - 32 + \frac{32}{x^{3}}$