Derivada de y=tg^5(3x)

Solución

Ha introducido [src]

   5     
tan (3*x)

$$\tan^{5}{\left(3 x \right)}$$

tan(3*x)^5

Solución detallada

Sustituimos $u = \tan{\left(3 x \right)}$ .
Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}$ :
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = 3 x$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $3$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $3 \cos{\left(3 x \right)}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = 3 x$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $3$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{5 \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \tan^{4}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{15 \tan^{4}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{15 \tan^{4}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

   4      /           2     \
tan (3*x)*\15 + 15*tan (3*x)/

$$\left(15 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 15\right) \tan^{4}{\left(3 x \right)}$$

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Segunda derivada [src]

      3      /       2     \ /         2     \
90*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)/*\2 + 3*tan (3*x)/

$$90 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2\right) \tan^{3}{\left(3 x \right)}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                              /                               2                               \
       2      /       2     \ |     4          /       2     \          2      /       2     \|
270*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)/*\2*tan (3*x) + 6*\1 + tan (3*x)/  + 13*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)//

$$270 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(6 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} + 13 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2 \tan^{4}{\left(3 x \right)}\right) \tan^{2}{\left(3 x \right)}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Derivada de y=tg^5(3x)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución