Halla la derivada y' = f'(x) = y=tg⁵ (y es igual a tg en el grado 5) - funciones. Hallemos el valor de la derivada de la función en el punto. [¡Hay una RESPUESTA!] online
Sr Examen

Derivada de y=tg^5

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   5   
tan (x)
tan5(x)\tan^{5}{\left(x \right)}
tan(x)^5
Solución detallada
  1. Sustituimos u=tan(x)u = \tan{\left(x \right)}.

  2. Según el principio, aplicamos: u5u^{5} tenemos 5u45 u^{4}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      sin2(x)+cos2(x)cos2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    5(sin2(x)+cos2(x))tan4(x)cos2(x)\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

  4. Simplificamos:

    5tan4(x)cos2(x)\frac{5 \tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}


Respuesta:

5tan4(x)cos2(x)\frac{5 \tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10105000000000-2500000000
Primera derivada [src]
   4    /         2   \
tan (x)*\5 + 5*tan (x)/
(5tan2(x)+5)tan4(x)\left(5 \tan^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \tan^{4}{\left(x \right)}
Segunda derivada [src]
      3    /       2   \ /         2   \
10*tan (x)*\1 + tan (x)/*\2 + 3*tan (x)/
10(tan2(x)+1)(3tan2(x)+2)tan3(x)10 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan^{3}{\left(x \right)}
Tercera derivada [src]
                         /                           2                           \
      2    /       2   \ |     4        /       2   \          2    /       2   \|
10*tan (x)*\1 + tan (x)/*\2*tan (x) + 6*\1 + tan (x)/  + 13*tan (x)*\1 + tan (x)//
10(tan2(x)+1)(6(tan2(x)+1)2+13(tan2(x)+1)tan2(x)+2tan4(x))tan2(x)10 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 13 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{4}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}
Gráfico
Derivada de y=tg^5