Sr Examen

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y=tg^5x+ln(1+x^2)
Derivada de la función/ 1+x^2/ y=tg^5/ y=tg^5x+ln(1+x^2)

Derivada de y=tg^5x+ln(1+x^2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   5         /     2\
tan (x) + log\1 + x /
log⁡(x2+1)+tan⁡5(x)\log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \tan^{5}{\left(x \right)} 
tan(x)^5 + log(1 + x^2)
Solución detallada

  1. diferenciamos log⁡(x2+1)+tan⁡5(x)\log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \tan^{5}{\left(x \right)} miembro por miembro:

    1. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u5u^{5} tenemos 5u45 u^{4}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      5(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡4(x)cos⁡2(x)\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    4. Sustituimos u=x2+1u = x^{2} + 1.

    5. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2+1)\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right):

      1. diferenciamos x2+1x^{2} + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        Como resultado de: 2x2 x

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2xx2+1\frac{2 x}{x^{2} + 1}

    Como resultado de: 2xx2+1+5(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡4(x)cos⁡2(x)\frac{2 x}{x^{2} + 1} + \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    2xcos⁡2(x)+(5x2+5)tan⁡4(x)(x2+1)cos⁡2(x)\frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(5 x^{2} + 5\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

2xcos⁡2(x)+(5x2+5)tan⁡4(x)(x2+1)cos⁡2(x)\frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(5 x^{2} + 5\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10105000000000-2500000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
   4    /         2   \    2*x  
tan (x)*\5 + 5*tan (x)/ + ------
                               2
                          1 + x
2xx2+1+(5tan⁡2(x)+5)tan⁡4(x)\frac{2 x}{x^{2} + 1} + \left(5 \tan^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \tan^{4}{\left(x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /               2                                               2        \
  |  1         2*x           5    /       2   \      /       2   \     3   |
2*|------ - --------- + 5*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 10*\1 + tan (x)/ *tan (x)|
  |     2           2                                                      |
  |1 + x    /     2\                                                       |
  \         \1 + x /                                                       /
2(−2x2(x2+1)2+10(tan⁡2(x)+1)2tan⁡3(x)+5(tan⁡2(x)+1)tan⁡5(x)+1x2+1)2 \left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 10 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{3}{\left(x \right)} + 5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{5}{\left(x \right)} + \frac{1}{x^{2} + 1}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                    3                                                3                           2        \
  |     6*x         8*x            6    /       2   \      /       2   \     2         /       2   \     4   |
2*|- --------- + --------- + 10*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 30*\1 + tan (x)/ *tan (x) + 65*\1 + tan (x)/ *tan (x)|
  |          2           3                                                                                   |
  |  /     2\    /     2\                                                                                    |
  \  \1 + x /    \1 + x /                                                                                    /
2(8x3(x2+1)3−6x(x2+1)2+30(tan⁡2(x)+1)3tan⁡2(x)+65(tan⁡2(x)+1)2tan⁡4(x)+10(tan⁡2(x)+1)tan⁡6(x))2 \left(\frac{8 x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} - \frac{6 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 30 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \tan^{2}{\left(x \right)} + 65 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{4}{\left(x \right)} + 10 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{6}{\left(x \right)}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=tg^5x+ln(1+x^2)
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