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y=tg^5x-ctgx^5
Derivada de la función/ y=tg^5/ y=tg^5x-ctgx^5

Derivada de y=tg^5x-ctgx^5

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   5         5   
tan (x) - cot (x)
tan⁡5(x)−cot⁡5(x)\tan^{5}{\left(x \right)} - \cot^{5}{\left(x \right)} 
tan(x)^5 - cot(x)^5
Solución detallada

  1. diferenciamos tan⁡5(x)−cot⁡5(x)\tan^{5}{\left(x \right)} - \cot^{5}{\left(x \right)} miembro por miembro:

    1. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u5u^{5} tenemos 5u45 u^{4}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      5(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡4(x)cos⁡2(x)\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

      2. Según el principio, aplicamos: u5u^{5} tenemos 5u45 u^{4}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(x)\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}:

        1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

          Method #1

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

          2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

            1. ddxtan⁡(x)=1cos⁡2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

          Method #2

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −5(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡4(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Entonces, como resultado: 5(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡4(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: 5(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡4(x)cos⁡2(x)+5(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡4(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    5(tan⁡6(x)+cot⁡4(x))cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{5 \left(\tan^{6}{\left(x \right)} + \cot^{4}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

5(tan⁡6(x)+cot⁡4(x))cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{5 \left(\tan^{6}{\left(x \right)} + \cot^{4}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50000000000005000000000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
   4    /         2   \      4    /          2   \
tan (x)*\5 + 5*tan (x)/ - cot (x)*\-5 - 5*cot (x)/
(5tan⁡2(x)+5)tan⁡4(x)−(−5cot⁡2(x)−5)cot⁡4(x)\left(5 \tan^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \tan^{4}{\left(x \right)} - \left(- 5 \cot^{2}{\left(x \right)} - 5\right) \cot^{4}{\left(x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
   /                                                               2                          2        \
   |   5    /       2   \      5    /       2   \     /       2   \     3        /       2   \     3   |
10*\tan (x)*\1 + tan (x)/ - cot (x)*\1 + cot (x)/ - 2*\1 + cot (x)/ *cot (x) + 2*\1 + tan (x)/ *tan (x)/
10(2(tan⁡2(x)+1)2tan⁡3(x)+(tan⁡2(x)+1)tan⁡5(x)−2(cot⁡2(x)+1)2cot⁡3(x)−(cot⁡2(x)+1)cot⁡5(x))10 \left(2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{3}{\left(x \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{5}{\left(x \right)} - 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cot^{3}{\left(x \right)} - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{5}{\left(x \right)}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
   /                                                                   3                          3                           2                           2        \
   |     6    /       2   \        6    /       2   \     /       2   \     2        /       2   \     2         /       2   \     4         /       2   \     4   |
10*\2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 6*\1 + cot (x)/ *cot (x) + 6*\1 + tan (x)/ *tan (x) + 13*\1 + cot (x)/ *cot (x) + 13*\1 + tan (x)/ *tan (x)/
10(6(tan⁡2(x)+1)3tan⁡2(x)+13(tan⁡2(x)+1)2tan⁡4(x)+2(tan⁡2(x)+1)tan⁡6(x)+6(cot⁡2(x)+1)3cot⁡2(x)+13(cot⁡2(x)+1)2cot⁡4(x)+2(cot⁡2(x)+1)cot⁡6(x))10 \left(6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \tan^{2}{\left(x \right)} + 13 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{4}{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{6}{\left(x \right)} + 6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \cot^{2}{\left(x \right)} + 13 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cot^{4}{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{6}{\left(x \right)}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=tg^5x-ctgx^5
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