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y=(4^-x)*(ln^5(x+2))

Derivada de y=(4^-x)*(ln^5(x+2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 -x    5       
4  *log (x + 2)
4xlog(x+2)54^{- x} \log{\left(x + 2 \right)}^{5}
4^(-x)*log(x + 2)^5
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=log(x+2)5f{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}^{5} y g(x)=4xg{\left(x \right)} = 4^{x}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=log(x+2)u = \log{\left(x + 2 \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u5u^{5} tenemos 5u45 u^{4}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxlog(x+2)\frac{d}{d x} \log{\left(x + 2 \right)}:

      1. Sustituimos u=x+2u = x + 2.

      2. Derivado log(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+2)\frac{d}{d x} \left(x + 2\right):

        1. diferenciamos x+2x + 2 miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          2. La derivada de una constante 22 es igual a cero.

          Como resultado de: 11

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        1x+2\frac{1}{x + 2}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      5log(x+2)4x+2\frac{5 \log{\left(x + 2 \right)}^{4}}{x + 2}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. ddx4x=4xlog(4)\frac{d}{d x} 4^{x} = 4^{x} \log{\left(4 \right)}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    42x(4xlog(4)log(x+2)5+54xlog(x+2)4x+2)4^{- 2 x} \left(- 4^{x} \log{\left(4 \right)} \log{\left(x + 2 \right)}^{5} + \frac{5 \cdot 4^{x} \log{\left(x + 2 \right)}^{4}}{x + 2}\right)

  2. Simplificamos:

    4x(log(4x+2)log(x+2)+5)log(x+2)4x+2\frac{4^{- x} \left(- \log{\left(4^{x + 2} \right)} \log{\left(x + 2 \right)} + 5\right) \log{\left(x + 2 \right)}^{4}}{x + 2}


Respuesta:

4x(log(4x+2)log(x+2)+5)log(x+2)4x+2\frac{4^{- x} \left(- \log{\left(4^{x + 2} \right)} \log{\left(x + 2 \right)} + 5\right) \log{\left(x + 2 \right)}^{4}}{x + 2}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Primera derivada [src]
                              -x    4       
   -x    5                 5*4  *log (x + 2)
- 4  *log (x + 2)*log(4) + -----------------
                                 x + 2      
4xlog(4)log(x+2)5+54xlog(x+2)4x+2- 4^{- x} \log{\left(4 \right)} \log{\left(x + 2 \right)}^{5} + \frac{5 \cdot 4^{- x} \log{\left(x + 2 \right)}^{4}}{x + 2}
Segunda derivada [src]
 -x    3        /   2       2          5*(-4 + log(2 + x))   10*log(4)*log(2 + x)\
4  *log (2 + x)*|log (4)*log (2 + x) - ------------------- - --------------------|
                |                                   2               2 + x        |
                \                            (2 + x)                             /
4x(log(4)2log(x+2)210log(4)log(x+2)x+25(log(x+2)4)(x+2)2)log(x+2)34^{- x} \left(\log{\left(4 \right)}^{2} \log{\left(x + 2 \right)}^{2} - \frac{10 \log{\left(4 \right)} \log{\left(x + 2 \right)}}{x + 2} - \frac{5 \left(\log{\left(x + 2 \right)} - 4\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) \log{\left(x + 2 \right)}^{3}
Tercera derivada [src]
                /                           /       2                      \         2       2                                                \
 -x    2        |     3       3          10*\6 + log (2 + x) - 6*log(2 + x)/   15*log (4)*log (2 + x)   15*(-4 + log(2 + x))*log(4)*log(2 + x)|
4  *log (2 + x)*|- log (4)*log (2 + x) + ----------------------------------- + ---------------------- + --------------------------------------|
                |                                             3                        2 + x                                  2               |
                \                                      (2 + x)                                                         (2 + x)                /
4x(log(4)3log(x+2)3+15log(4)2log(x+2)2x+2+15(log(x+2)4)log(4)log(x+2)(x+2)2+10(log(x+2)26log(x+2)+6)(x+2)3)log(x+2)24^{- x} \left(- \log{\left(4 \right)}^{3} \log{\left(x + 2 \right)}^{3} + \frac{15 \log{\left(4 \right)}^{2} \log{\left(x + 2 \right)}^{2}}{x + 2} + \frac{15 \left(\log{\left(x + 2 \right)} - 4\right) \log{\left(4 \right)} \log{\left(x + 2 \right)}}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{10 \left(\log{\left(x + 2 \right)}^{2} - 6 \log{\left(x + 2 \right)} + 6\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) \log{\left(x + 2 \right)}^{2}
Gráfico
Derivada de y=(4^-x)*(ln^5(x+2))