Derivada de y=5^xsin(5x-2)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 5^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} \log{\left(5 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x - 2 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 5 x - 2$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(5 x - 2\right)$:

      1. diferenciamos $5 x - 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         2. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

         Como resultado de: $5$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 \cos{\left(5 x - 2 \right)}$

   Como resultado de: $5^{x} \log{\left(5 \right)} \sin{\left(5 x - 2 \right)} + 5 \cdot 5^{x} \cos{\left(5 x - 2 \right)}$

2. Simplificamos:

   $5^{x} \left(\log{\left(5 \right)} \sin{\left(5 x - 2 \right)} + 5 \cos{\left(5 x - 2 \right)}\right)$

Respuesta:

$5^{x} \left(\log{\left(5 \right)} \sin{\left(5 x - 2 \right)} + 5 \cos{\left(5 x - 2 \right)}\right)$