Derivada de y=tg(x)+4^x+8√x^5

1. diferenciamos $8 \left(\sqrt{x}\right)^{5} + \left(4^{x} + \tan{\left(x \right)}\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $4^{x} + \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      3. $\frac{d}{d x} 4^{x} = 4^{x} \log{\left(4 \right)}$

      Como resultado de: $4^{x} \log{\left(4 \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

      Entonces, como resultado: $20 x^{\frac{3}{2}}$

   Como resultado de: $4^{x} \log{\left(4 \right)} + 20 x^{\frac{3}{2}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $2 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)} + 20 x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$2 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)} + 20 x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$