Derivada de y=1+2x/(1+x)^2

1. diferenciamos $\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1$ miembro por miembro:

   1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 2 x$ y $g{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{2}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 x + 2$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- 2 x \left(2 x + 2\right) + 2 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{4}}$

   Como resultado de: $\frac{- 2 x \left(2 x + 2\right) + 2 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \left(1 - x\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(1 - x\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}$