Derivada de [x]sin(pi*x)^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(\pi x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(\pi x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \pi x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \pi x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\pi$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\pi \cos{\left(\pi x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \pi \sin{\left(\pi x \right)} \cos{\left(\pi x \right)}$

   Como resultado de: $2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} \cos{\left(\pi x \right)} + \sin^{2}{\left(\pi x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\pi x \sin{\left(2 \pi x \right)} - \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

Respuesta:

$\pi x \sin{\left(2 \pi x \right)} - \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$