Derivada de x(loge(x)-1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(e^{1} \right)}\right)$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(e^{1} \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} - \log{\left(e^{1} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $\log{\left(x \right)} - \log{\left(e^{1} \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $- \log{\left(e^{1} \right)}$ es igual a cero.

         2. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Como resultado de: $\frac{1}{x}$

      Como resultado de: $\log{\left(x \right)} - \log{\left(e^{1} \right)} + 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $\log{\left(e^{1} \right)}$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\log{\left(x \right)} - \log{\left(e^{1} \right)} + 1}{\log{\left(e^{1} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\log{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\log{\left(x \right)}$