Derivada de x*(x^3+4*x^2+x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $x^{3} + 4 x^{2}$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $8 x$

         Como resultado de: $3 x^{2} + 8 x$

      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $3 x^{2} + 8 x + 1$

   Como resultado de: $x^{3} + 4 x^{2} + x \left(3 x^{2} + 8 x + 1\right) + x$

2. Simplificamos:

   $2 x \left(2 x^{2} + 6 x + 1\right)$

Respuesta:

$2 x \left(2 x^{2} + 6 x + 1\right)$