Derivada de y=(x^7)*(cos^2)*7x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 7 x^{7} \cos^{2}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x^{7}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{7}$ tenemos $7 x^{6}$

         $g{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $- 2 x^{7} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 7 x^{6} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- 14 x^{7} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 49 x^{6} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Como resultado de: $x \left(- 14 x^{7} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 49 x^{6} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + 7 x^{7} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $x^{7} \left(- 7 x \sin{\left(2 x \right)} + 28 \cos{\left(2 x \right)} + 28\right)$

Respuesta:

$x^{7} \left(- 7 x \sin{\left(2 x \right)} + 28 \cos{\left(2 x \right)} + 28\right)$