Derivada de y=е^x(1+cos2x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\cos{\left(2 x \right)} + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Sustituimos $u = 2 x$.

      3. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

   Como resultado de: $\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x} - 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x}$

Respuesta:

$\left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x}$