Derivada de y=(cos7x)/(5x^3)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 5 x^{3}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 7 x$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $7$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

      Entonces, como resultado: $15 x^{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 35 x^{3} \sin{\left(7 x \right)} - 15 x^{2} \cos{\left(7 x \right)}}{25 x^{6}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{7 x \sin{\left(7 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)}}{5 x^{4}}$

Respuesta:

$- \frac{7 x \sin{\left(7 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)}}{5 x^{4}}$