Derivada de е^x·sinx+x·cosx

1. diferenciamos $e^{x} \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$

   2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- x \sin{\left(x \right)} + e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x \right)}$

Respuesta:

$- x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x \right)}$