Tenemos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{1}{9}$$
Se llama
lineal homogéneaecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{2 k}{3} + \frac{1}{9} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = - \frac{1}{3}$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = - \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{x}{3}} + C_{2} x e^{- \frac{x}{3}}$$