Sr Examen
Ecuación diferencial y''+xy'=x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
x*--(y(x)) + ---(y(x)) = x
dx 2
dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x$$
x*y' + y'' = x
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = x$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = dx x$$
o
$$- \frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y' - 1}\right)\, dy' = \int x\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y' - 1 \right)} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + 1$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + 1\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C_{1} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + C_{2} + x$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = x$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = dx x$$
o
$$- \frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y' - 1}\right)\, dy' = \int x\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y' - 1 \right)} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + 1$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + 1\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C_{1} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + C_{2} + x$$
Respuesta
[src]
/ ___\
|x*\/ 2 |
y(x) = C1 + x + C2*erf|-------|
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)} + x$$
Clasificación
nth order reducible