Ecuación diferencial siny*y'*sqrt(3x+1)=12

Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{3 x + 1} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 12$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{12}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{12}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{12} = - \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{12} = - \frac{dx}{\sqrt{3 x + 1}}$$
o
$$- \frac{dy \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{12} = - \frac{dx}{\sqrt{3 x + 1}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\sin{\left(y \right)}}{12}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\cos{\left(y \right)}}{12} = Const - \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} - 8 \sqrt{3 x + 1} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} - 8 \sqrt{3 x + 1} \right)}$$