Sr Examen
Ecuación diferencial a^2*y''+a*y'+y=b
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d 2 d
a*--(y(x)) + a *---(y(x)) + y(x) = b
dx 2
dx
$$a^{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = b$$
a^2*y'' + a*y' + y = b
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$a^{2}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a^{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}}{a^{2}} = \frac{b}{a^{2}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = \frac{1}{a}$$
$$q = \frac{1}{a^{2}}$$
$$s = - \frac{b}{a^{2}}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{k}{a} + \frac{1}{a^{2}} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2 a}$$
$$k_{2} = - \frac{1 + \sqrt{3} i}{2 a}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} + C_{2} e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 + sqrt(3)*i)/(2*a)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-x*(1 + sqrt(3)*i)/(2*a)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{b}{a^{2}}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} = \frac{b}{a^{2}}$$
o
$$e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2 a} - \frac{\left(1 + \sqrt{3} i\right) e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}}{2 a} = \frac{b}{a^{2}}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{3} i b e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{3} i\right)}{2 a}}}{3 a}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{3} i b e^{\frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}}}{3 a}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\sqrt{3} i b e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{3} i\right)}{2 a}}}{3 a}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\sqrt{3} i b e^{\frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}}}{3 a}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{\sqrt{3} i b \left(- \frac{a e^{\frac{x}{2 a}}}{e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + \sqrt{3} i e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}} + \frac{\sqrt{3} i a e^{\frac{x}{2 a}}}{e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + \sqrt{3} i e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}}\right)}{3 a}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\sqrt{3} i b \left(\frac{a e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}}{-1 + \sqrt{3} i} + \frac{\sqrt{3} i a e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}}{-1 + \sqrt{3} i}\right)}{3 a}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{x}{2 a}} e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + C_{4} e^{- \frac{x}{2 a}} e^{- \frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + \frac{\sqrt{3} i b}{3 \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} - \frac{b}{-1 + \sqrt{3} i} + \frac{b e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}}{e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + \sqrt{3} i e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}} + \frac{\sqrt{3} i b e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}}{3 \left(e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + \sqrt{3} i e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$a^{2}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a^{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}}{a^{2}} = \frac{b}{a^{2}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = \frac{1}{a}$$
$$q = \frac{1}{a^{2}}$$
$$s = - \frac{b}{a^{2}}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{k}{a} + \frac{1}{a^{2}} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2 a}$$
$$k_{2} = - \frac{1 + \sqrt{3} i}{2 a}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} + C_{2} e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 + sqrt(3)*i)/(2*a)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-x*(1 + sqrt(3)*i)/(2*a)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{b}{a^{2}}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} = \frac{b}{a^{2}}$$
o
$$e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2 a} - \frac{\left(1 + \sqrt{3} i\right) e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}}{2 a} = \frac{b}{a^{2}}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{3} i b e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{3} i\right)}{2 a}}}{3 a}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{3} i b e^{\frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}}}{3 a}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\sqrt{3} i b e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{3} i\right)}{2 a}}}{3 a}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\sqrt{3} i b e^{\frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}}}{3 a}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{\sqrt{3} i b \left(- \frac{a e^{\frac{x}{2 a}}}{e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + \sqrt{3} i e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}} + \frac{\sqrt{3} i a e^{\frac{x}{2 a}}}{e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + \sqrt{3} i e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}}\right)}{3 a}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\sqrt{3} i b \left(\frac{a e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}}{-1 + \sqrt{3} i} + \frac{\sqrt{3} i a e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}}{-1 + \sqrt{3} i}\right)}{3 a}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{x}{2 a}} e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + C_{4} e^{- \frac{x}{2 a}} e^{- \frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + \frac{\sqrt{3} i b}{3 \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} - \frac{b}{-1 + \sqrt{3} i} + \frac{b e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}}{e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + \sqrt{3} i e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}} + \frac{\sqrt{3} i b e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}}{3 \left(e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}} + \sqrt{3} i e^{\frac{\sqrt{3} i x}{2 a}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ ___\ / ___\
x*\-1 - I*\/ 3 / x*\-1 + I*\/ 3 /
---------------- ----------------
2*a 2*a
y(x) = b + C1*e + C2*e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2 a}} + C_{2} e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2 a}} + b$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral