Tenemos la ecuación:
y'' = $$- \sin^{3}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Es una ecuación diferencial de la forma:
y'' = f(x)
Se resuelve multiplicando las dos partes de la ecuación por dx:
y''dx = f(x)dx, o
d(y') = f(x)dx
Y tomando integrales de las dos partes de la ecuación:
∫ d(y') = ∫ f(x) dx
o
y' = ∫ f(x) dx
En nuestro caso,
f(x) = $$- \sin^{3}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
y' = $$- \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$ + C1
donde C1 es la constante que no depende de x.
Repitamos una vez más:
∫ dy =
Es decir, la solución será
y = $$\int \left(C_{1} - \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integralo
y = $$C_{1} x + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$$ + C2
donde C2 es la constante que no depende de x