Ecuación diferencial y'=(x-5y+1)/(y+5x-5)

Tenemos la ecuación:
$$- \frac{x - 5 y{\left(x \right)} + 1}{5 x + y{\left(x \right)} - 5} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - \frac{5}{13}}{x - \frac{12}{13}}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x - \frac{12}{13}\right) u{\left(x \right)} + \frac{5}{13}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - \frac{12}{13}\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- \frac{x}{5 x + \left(x - \frac{12}{13}\right) u{\left(x \right)} - \frac{60}{13}} + \left(x - \frac{12}{13}\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{5 \left(\left(x - \frac{12}{13}\right) u{\left(x \right)} + \frac{5}{13}\right)}{5 x + \left(x - \frac{12}{13}\right) u{\left(x \right)} - \frac{60}{13}} + u{\left(x \right)} - \frac{1}{5 x + \left(x - \frac{12}{13}\right) u{\left(x \right)} - \frac{60}{13}} = 0$$
o
$$\left(x - \frac{12}{13}\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{- u^{2}{\left(x \right)} - 10 u{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)} + 5} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x - \frac{12}{13}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{- u^{2}{\left(x \right)} - 10 u{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)} + 5}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x - \frac{12}{13}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = \frac{13 \left(- u^{2}{\left(x \right)} - 10 u{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(13 x - 12\right) \left(u{\left(x \right)} + 5\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{- u^{2}{\left(x \right)} - 10 u{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)} + 5}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(u{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 10 u{\left(x \right)} - 1} = \frac{13}{13 x - 12}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(u{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 10 u{\left(x \right)} - 1} = \frac{13 dx}{13 x - 12}$$
o
$$- \frac{du \left(u{\left(x \right)} + 5\right)}{u^{2}{\left(x \right)} + 10 u{\left(x \right)} - 1} = \frac{13 dx}{13 x - 12}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u + 5}{u^{2} + 10 u - 1}\right)\, du = \int \frac{13}{13 x - 12}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(u^{2} + 10 u - 1 \right)}}{2} = Const + \log{\left(13 x - 12 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - \frac{5}{13}}{x - \frac{12}{13}}$$
$$- \frac{\log{\left(-1 + \frac{10 \left(y{\left(x \right)} - \frac{5}{13}\right)}{x - \frac{12}{13}} + \frac{\left(y{\left(x \right)} - \frac{5}{13}\right)^{2}}{\left(x - \frac{12}{13}\right)^{2}} \right)}}{2} = Const + \log{\left(13 x - 12 \right)}$$