Sr Examen
Ecuación diferencial y''-2y'+10y=(1/3)cos3x+2sin3x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d cos(3*x)
- 2*--(y(x)) + 10*y(x) + ---(y(x)) = 2*sin(3*x) + --------
dx 2 3
dx
$$10 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
10*y - 2*y' + y'' = 2*sin(3*x) + cos(3*x)/3
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$10 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -2$$
$$q = 10$$
$$s = - 2 \sin{\left(3 x \right)} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + 10 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - 3 i$$
$$k_{2} = 1 + 3 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - 3 i\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + 3 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - 3 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + 3 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1 - 3*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1 + 3*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(1 - 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 - 3 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 + 3 i\right)} = 2 \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
o
$$e^{x \left(1 - 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(1 - 3 i\right) e^{x \left(1 - 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(1 + 3 i\right) e^{x \left(1 + 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{i \left(6 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- x + 3 i x}}{18}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{i \left(6 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- x \left(1 + 3 i\right)}}{18}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{i \left(6 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- x + 3 i x}}{18}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{i \left(6 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- x \left(1 + 3 i\right)}}{18}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{i \left(- 3 e^{- x} e^{3 i x} \sin{\left(3 x \right)} - e^{- x} e^{3 i x} \cos{\left(3 x \right)} - 3 i e^{- x} e^{3 i x} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{18}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{i \left(- 3 e^{- x} e^{- 3 i x} \sin{\left(3 x \right)} - e^{- x} e^{- 3 i x} \cos{\left(3 x \right)} + 3 i e^{- x} e^{- 3 i x} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{18}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - 3 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + 3 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} e^{- 3 i x} + C_{4} e^{x} e^{3 i x} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$10 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -2$$
$$q = 10$$
$$s = - 2 \sin{\left(3 x \right)} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + 10 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - 3 i$$
$$k_{2} = 1 + 3 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - 3 i\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + 3 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - 3 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + 3 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1 - 3*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1 + 3*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(1 - 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 - 3 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 + 3 i\right)} = 2 \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
o
$$e^{x \left(1 - 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(1 - 3 i\right) e^{x \left(1 - 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(1 + 3 i\right) e^{x \left(1 + 3 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{i \left(6 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- x + 3 i x}}{18}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{i \left(6 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- x \left(1 + 3 i\right)}}{18}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{i \left(6 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- x + 3 i x}}{18}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{i \left(6 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- x \left(1 + 3 i\right)}}{18}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{i \left(- 3 e^{- x} e^{3 i x} \sin{\left(3 x \right)} - e^{- x} e^{3 i x} \cos{\left(3 x \right)} - 3 i e^{- x} e^{3 i x} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{18}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{i \left(- 3 e^{- x} e^{- 3 i x} \sin{\left(3 x \right)} - e^{- x} e^{- 3 i x} \cos{\left(3 x \right)} + 3 i e^{- x} e^{- 3 i x} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{18}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - 3 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + 3 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} e^{- 3 i x} + C_{4} e^{x} e^{3 i x} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
cos(3*x) x
y(x) = -------- + (C1*sin(3*x) + C2*cos(3*x))*e
3
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(3 x \right)} + C_{2} \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{x} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral