Ecuación diferencial y'=(3x-y)/x

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{3 x - y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - 3 = 0$$
o
$$x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} - 3 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 3 - 2 u{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$3 - 2 u{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} - 3} = \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} - 3} = \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du}{2 u{\left(x \right)} - 3} = \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{2 u - 3}\right)\, du = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(2 u - 3 \right)}}{2} = Const + \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x^{2}} + \frac{3}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(\frac{C_{1}}{x^{2}} + \frac{3}{2}\right)$$