Ecuación diferencial ds/dt=((2t+1)(2s-1))/(2(t^2+t))

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} s{\left(t \right)} = \frac{\left(2 t + 1\right) \left(2 s{\left(t \right)} - 1\right)}{2 t^{2} + 2 t}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(s)*s' = f2(x)*g2(s),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(s \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = \frac{2 t + 1}{2 t^{2} + 2 t}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(s \right)} = 2 s{\left(t \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(s)/g2(s)*s'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(s)
$$2 s{\left(t \right)} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} s{\left(t \right)}}{2 s{\left(t \right)} - 1} = \frac{t + \frac{1}{2}}{t \left(t + 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables t y s.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} s{\left(t \right)}}{2 s{\left(t \right)} - 1} = \frac{dt \left(t + \frac{1}{2}\right)}{t \left(t + 1\right)}$$
o
$$\frac{ds}{2 s{\left(t \right)} - 1} = \frac{dt \left(t + \frac{1}{2}\right)}{t \left(t + 1\right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por s,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{2 s - 1}\, ds = \int \frac{t + \frac{1}{2}}{t \left(t + 1\right)}\, dt$$
Solución detallada de la integral con s
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(2 s - 1 \right)}}{2} = Const + \frac{\log{\left(t^{2} + t \right)}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica s.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{s_{1}} = s{\left(t \right)} = C_{1} t^{2} + C_{1} t + \frac{1}{2}$$