Sr Examen
Ecuación diferencial y''-4y'-12y=3e^(-5t)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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2
d d -5*t
-12*y(t) - 4*--(y(t)) + ---(y(t)) = 3*e
dt 2
dt
$$- 12 y{\left(t \right)} - 4 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 3 e^{- 5 t}$$
-12*y - 4*y' + y'' = 3*exp(-5*t)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 12 y{\left(t \right)} - 4 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 3 e^{- 5 t}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -4$$
$$q = -12$$
$$s = - 3 e^{- 5 t}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k - 12 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -2$$
$$k_{2} = 6$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{k_{1} t} + C_{2} e^{k_{2} t}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- 2 t} + C_{2} e^{6 t}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- 2 t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{6 t}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(-2*t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = exp(6*t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = 3 e^{- 5 t}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{6 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{- 2 t} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{6 t} = 3 e^{- 5 t}$$
o
$$e^{6 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$6 e^{6 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} - 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 3 e^{- 5 t}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = - \frac{3 e^{- 3 t}}{8}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = \frac{3 e^{- 11 t}}{8}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{3 e^{- 3 t}}{8}\right)\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \frac{3 e^{- 11 t}}{8}\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \frac{e^{- 3 t}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{3 e^{- 11 t}}{88}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- 2 t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{6 t}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- 2 t} + C_{4} e^{6 t} + \frac{e^{- 5 t}}{11}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$- 12 y{\left(t \right)} - 4 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 3 e^{- 5 t}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -4$$
$$q = -12$$
$$s = - 3 e^{- 5 t}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k - 12 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -2$$
$$k_{2} = 6$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{k_{1} t} + C_{2} e^{k_{2} t}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- 2 t} + C_{2} e^{6 t}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- 2 t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{6 t}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(-2*t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = exp(6*t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = 3 e^{- 5 t}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{6 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{- 2 t} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{6 t} = 3 e^{- 5 t}$$
o
$$e^{6 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$6 e^{6 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} - 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 3 e^{- 5 t}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = - \frac{3 e^{- 3 t}}{8}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = \frac{3 e^{- 11 t}}{8}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{3 e^{- 3 t}}{8}\right)\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \frac{3 e^{- 11 t}}{8}\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \frac{e^{- 3 t}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{3 e^{- 11 t}}{88}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- 2 t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{6 t}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- 2 t} + C_{4} e^{6 t} + \frac{e^{- 5 t}}{11}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
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-5*t
e -2*t 6*t
y(t) = ----- + C1*e + C2*e
11
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- 2 t} + C_{2} e^{6 t} + \frac{e^{- 5 t}}{11}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral