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Ecuaciones diferenciales/ -x*y'+y=3*x^2*y'+3

Ecuación diferencial -x*y'+y=3*x^2*y'+3

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior
⌨

Solución

Ha introducido [src] 
    d                        2 d       
- x*--(y(x)) + y(x) = 3 + 3*x *--(y(x))
    dx                         dx
−xddxy(x)+y(x)=3x2ddxy(x)+3- x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 3 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 
-x*y' + y = 3*x^2*y' + 3
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
−3x2ddxy(x)−xddxy(x)+y(x)−3=0- 3 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 3 = 0
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
f1⁡(x)=1\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1
g1⁡(y)=1\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1
f2⁡(x)=1x(3x+1)\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \left(3 x + 1\right)}
g2⁡(y)=y(x)−3\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} - 3
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
y(x)−3y{\left(x \right)} - 3
obtendremos
ddxy(x)y(x)−3=1x(3x+1)\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 3} = \frac{1}{x \left(3 x + 1\right)}
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
dxddxy(x)y(x)−3=dxx(3x+1)\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 3} = \frac{dx}{x \left(3 x + 1\right)}
o
dyy(x)−3=dxx(3x+1)\frac{dy}{y{\left(x \right)} - 3} = \frac{dx}{x \left(3 x + 1\right)}

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
∫1y−3 dy=∫1x(3x+1) dx\int \frac{1}{y - 3}\, dy = \int \frac{1}{x \left(3 x + 1\right)}\, dx
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
log⁡(y−3)=Const+log⁡(x)−log⁡(x+13)\log{\left(y - 3 \right)} = Const + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x + \frac{1}{3} \right)}
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
y1⁡=y(x)=3(C1x+3x+1)3x+1\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{3 \left(C_{1} x + 3 x + 1\right)}{3 x + 1}
Respuesta [src] 
       3*(1 + 3*x + C1*x)
y(x) = ------------------
            1 + 3*x
y(x)=3(C1x+3x+1)3x+1y{\left(x \right)} = \frac{3 \left(C_{1} x + 3 x + 1\right)}{3 x + 1}
Construir el gráfico con C=-1
Construir el gráfico con C=0
Construir el gráfico con C=1
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st linear
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
almost linear Integral
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