Ecuación diferencial (x-y+1)y'=1

Tenemos la ecuación:
$$\left(x - y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x - y{\left(x \right)} + 1$$
y porque
$$1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) - \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) - 1 = 0$$
o
$$- u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{u{\left(x \right)} - 1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{u{\left(x \right)} - 1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1} = dx$$
o
$$\frac{du u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1} = dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u}{u - 1}\, du = \int 1\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$u + \log{\left(u - 1 \right)} = Const + x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = W\left(C_{1} e^{x - 1}\right) + 1$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x - u{\left(x \right)} + 1$$
$$y1 = y(x) = x - W\left(C_{1} e^{x - 1}\right)$$