Tenemos la ecuación:
$$\frac{\pi x \left(- x \cos{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}}{2} = y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)} + \frac{2}{\pi x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(x \cos{\left(x \right)} + \frac{2}{\pi x}\right)$$
o
$$dy = dx \left(x \cos{\left(x \right)} + \frac{2}{\pi x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 1\, dy = \int \left(x \cos{\left(x \right)} + \frac{2}{\pi x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$y = Const + x \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\pi} + \cos{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{1} + \frac{\pi \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \log{\left(x \right)}}{\pi}$$