Sr Examen
Ecuación diferencial xy''-2yy'+y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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2
d d
x*---(y(x)) - 2*--(y(x))*y(x) + y(x) = 0
2 dx
dx
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
x*y'' - 2*y*y' + y = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx y{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{dy'}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx y{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2 y' - 1}\, dy' = \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(2 y' - 1 \right)}}{2} = Const + \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}}{2} + \frac{1}{2}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(\frac{C_{1} e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}}{2} + \frac{1}{2}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \frac{\int 1\, dx + \int C_{1} e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}\, dx}{2}$$
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx y{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{dy'}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx y{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2 y' - 1}\, dy' = \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(2 y' - 1 \right)}}{2} = Const + \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}}{2} + \frac{1}{2}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(\frac{C_{1} e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}}{2} + \frac{1}{2}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \frac{\int 1\, dx + \int C_{1} e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}\, dx}{2}$$