Sr Examen

Ecuación diferencial dy/dx=(-4x+3y+1)/(3x+y-4)

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
d          1 - 4*x + 3*y(x)
--(y(x)) = ----------------
dx         -4 + 3*x + y(x) 
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{- 4 x + 3 y{\left(x \right)} + 1}{3 x + y{\left(x \right)} - 4}$$
y' = (-4*x + 3*y + 1)/(3*x + y - 4)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- \frac{- 4 x + 3 y{\left(x \right)} + 1}{3 x + y{\left(x \right)} - 4} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - 1}{x - 1}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} + 1$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$\frac{4 x}{3 x + \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 3} + \left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\left(x - 1\right) u{\left(x \right)} + 1\right)}{3 x + \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 3} + u{\left(x \right)} - \frac{1}{3 x + \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 3} = 0$$
o
$$\left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 4}{u{\left(x \right)} + 3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x - 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 4}{u{\left(x \right)} + 3}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x - 1$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 4}{\left(x - 1\right) \left(u{\left(x \right)} + 3\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{u^{2}{\left(x \right)} + 4}{u{\left(x \right)} + 3}$$
obtendremos
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} + 3\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 4} = - \frac{1}{x - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(u{\left(x \right)} + 3\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 4} = - \frac{dx}{x - 1}$$
o
$$\frac{du \left(u{\left(x \right)} + 3\right)}{u^{2}{\left(x \right)} + 4} = - \frac{dx}{x - 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u + 3}{u^{2} + 4}\, du = \int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(u^{2} + 4 \right)}}{2} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2} = Const - \log{\left(x - 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - 1}{x - 1}$$
$$\frac{\log{\left(4 + \frac{\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{2} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{y{\left(x \right)} - 1}{2 \left(x - 1\right)} \right)}}{2} = Const - \log{\left(x - 1 \right)}$$
Respuesta [src]
                      /      __________________\         /-1 + y(x) \
                      |     /                2 |   3*atan|----------|
                      |    /      (-1 + y(x))  |         \2*(-1 + x)/
log(-1 + x) = C1 - log|   /   4 + ------------ | - ------------------
                      |  /                 2   |           2         
                      \\/          (-1 + x)    /                     
$$\log{\left(x - 1 \right)} = C_{1} - \log{\left(\sqrt{4 + \frac{\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}} \right)} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{y{\left(x \right)} - 1}{2 \left(x - 1\right)} \right)}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
linear coefficients
1st power series
lie group
linear coefficients Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -1.7237870869245062)
(-5.555555555555555, -3.3654882555166896)
(-3.333333333333333, -4.112037474581288)
(-1.1111111111111107, -3.7232079908101663)
(1.1111111111111107, -0.7387810191024824)
(3.333333333333334, 0.2694150386157288)
(5.555555555555557, 6.013470016991698e-154)
(7.777777777777779, 8.82893879237236e+199)
(10.0, 5.9991817127036e-310)
(10.0, 5.9991817127036e-310)