Ecuación diferencial dx/dt=k(250-x)(40-x)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = k \left(40 - x{\left(t \right)}\right) \left(250 - x{\left(t \right)}\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = k$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = x^{2}{\left(t \right)} - 290 x{\left(t \right)} + 10000$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$x^{2}{\left(t \right)} - 290 x{\left(t \right)} + 10000$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)} - 290 x{\left(t \right)} + 10000} = k$$
Con esto hemos separado las variables t y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)} - 290 x{\left(t \right)} + 10000} = dt k$$
o
$$\frac{dx}{x^{2}{\left(t \right)} - 290 x{\left(t \right)} + 10000} = dt k$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{x^{2} - 290 x + 10000}\, dx = \int k\, dt$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(x - 250 \right)}}{210} - \frac{\log{\left(x - 40 \right)}}{210} = Const + k t$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = \frac{10 \left(4 e^{210 C_{1} + 210 k t} - 25\right)}{e^{210 C_{1} + 210 k t} - 1}$$