Sr Examen
Ecuación diferencial y''-y=e^(-x)(x+2)+e^xsinx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d -x x
-y(x) + ---(y(x)) = (2 + x)*e + e *sin(x)
2
dx
$$- y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
-y + y'' = (x + 2)*exp(-x) + exp(x)*sin(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 0$$
$$q = -1$$
$$s = - \left(x + 2\right) e^{- x} - e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1$$
$$k_{2} = 1$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} = \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{x}{2} - \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - 1$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(x + e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + 2\right) e^{- 2 x}}{2}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{x}{2} - \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - 1\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(x + e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + 2\right) e^{- 2 x}}{2}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x^{2}}{4} - x - \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} + \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{10}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{x e^{- 2 x}}{4} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 e^{- 2 x}}{8}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} + C_{4} e^{x} - \frac{x^{2} e^{- x}}{4} - \frac{5 x e^{- x}}{4} - \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \cos{\left(x \right)}}{5} - \frac{5 e^{- x}}{8}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$- y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 0$$
$$q = -1$$
$$s = - \left(x + 2\right) e^{- x} - e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1$$
$$k_{2} = 1$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} = \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{x}{2} - \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - 1$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(x + e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + 2\right) e^{- 2 x}}{2}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{x}{2} - \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - 1\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(x + e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + 2\right) e^{- 2 x}}{2}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x^{2}}{4} - x - \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} + \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{10}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{x e^{- 2 x}}{4} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 e^{- 2 x}}{8}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} + C_{4} e^{x} - \frac{x^{2} e^{- x}}{4} - \frac{5 x e^{- x}}{4} - \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \cos{\left(x \right)}}{5} - \frac{5 e^{- x}}{8}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ 2\
| 5*x x | -x / 2*cos(x) sin(x)\ x
y(x) = |C1 - --- - --|*e + |C2 - -------- - ------|*e
\ 4 4 / \ 5 5 /
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4}\right) e^{- x} + \left(C_{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{5}\right) e^{x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral