Sr Examen
Ecuación diferencial cos2xdx+sin3ydy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x))*sin(3*y(x)) + cos(2*x) = 0 dx
$$\sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
sin(3*y)*y' + cos(2*x) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos{\left(2 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$dy \sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)} = - dx \cos{\left(2 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \sin{\left(3 y \right)}\, dy = \int \left(- \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(3 y \right)}}{3} = Const - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}}{3} + \frac{2 \pi}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}}{3}$$
$$\sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos{\left(2 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$dy \sin{\left(3 y{\left(x \right)} \right)} = - dx \cos{\left(2 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \sin{\left(3 y \right)}\, dy = \int \left(- \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(3 y \right)}}{3} = Const - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}}{3} + \frac{2 \pi}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}}{3}$$
Respuesta
[src]
/ 3*sin(2*x)\
acos|C1 + ----------|
\ 2 / 2*pi
y(x) = - --------------------- + ----
3 3
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}}{3} + \frac{2 \pi}{3}$$
/ 3*sin(2*x)\
acos|C1 + ----------|
\ 2 /
y(x) = ---------------------
3
$$y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}}{3}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral