Ecuación diferencial y'=(y^2-3y+2)(x-3)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - 3\right) \left(y^{2}{\left(x \right)} - 3 y{\left(x \right)} + 2\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x - 3$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} - 3 y{\left(x \right)} + 2$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} - 3 y{\left(x \right)} + 2$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 3 y{\left(x \right)} + 2} = x - 3$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 3 y{\left(x \right)} + 2} = dx \left(x - 3\right)$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} - 3 y{\left(x \right)} + 2} = dx \left(x - 3\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2} - 3 y + 2}\, dy = \int \left(x - 3\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y - 2 \right)} - \log{\left(y - 1 \right)} = Const + \frac{x^{2}}{2} - 3 x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{2 e^{6 x} - e^{2 C_{1} + x^{2}} - \sqrt{e^{2 C_{1} + x^{2} + 6 x}}}{e^{6 x} - e^{2 C_{1} + x^{2}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{2 e^{6 x} - e^{2 C_{1} + x^{2}} + \sqrt{e^{2 C_{1} + x^{2} + 6 x}}}{e^{6 x} - e^{2 C_{1} + x^{2}}}$$