Sr Examen
Ecuación diferencial arctg(y)*y'=(x^5+1)*(y^2+1)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d / 5\ / 2 \ --(y(x))*atan(y(x)) = \1 + x /*\1 + y (x)/ dx
$$\operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x^{5} + 1\right) \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$
atan(y)*y' = (x^5 + 1)*(y^2 + 1)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x^{5} + 1\right) \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{5} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - x^{5} - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = dx \left(- x^{5} - 1\right)$$
o
$$- \frac{dy \operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = dx \left(- x^{5} - 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(y \right)}}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- x^{5} - 1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(y \right)}}{2} = Const - \frac{x^{6}}{6} - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \tan{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{C_{1} + x^{6} + 6 x}}{3} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{\sqrt{C_{1} + 3 x^{6} + 18 x}}{3} \right)}$$
$$\operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x^{5} + 1\right) \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{5} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - x^{5} - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = dx \left(- x^{5} - 1\right)$$
o
$$- \frac{dy \operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = dx \left(- x^{5} - 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(y \right)}}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- x^{5} - 1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(y \right)}}{2} = Const - \frac{x^{6}}{6} - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \tan{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{C_{1} + x^{6} + 6 x}}{3} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{\sqrt{C_{1} + 3 x^{6} + 18 x}}{3} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ _______________\
| ___ / 6 |
|\/ 3 *\/ C1 + x + 6*x |
y(x) = -tan|------------------------|
\ 3 /
$$y{\left(x \right)} = - \tan{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{C_{1} + x^{6} + 6 x}}{3} \right)}$$
/ __________________\
| / 6 |
|\/ C1 + 3*x + 18*x |
y(x) = tan|---------------------|
\ 3 /
$$y{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{\sqrt{C_{1} + 3 x^{6} + 18 x}}{3} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 4.8428592498843665e-09)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 6.446773053330691e-67)
(7.777777777777779, 8.388243571809644e+296)
(10.0, 9.036991477623112e-277)
(10.0, 9.036991477623112e-277)