Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación dy/dx=(x+y+4)/(x-y-6)
- Ecuación y''-2y'+8y=0
- Ecuación e^(-y)*(1+y')=1
- Ecuación xy'-2y=3x^2+2x
- Derivada de:
-
dy/dx
-
Expresiones idénticas
- dy/dx=(x+y+ cuatro)/(x-y- seis)
- dy dividir por dx es igual a (x más y más 4) dividir por (x menos y menos 6)
- dy dividir por dx es igual a (x más y más cuatro) dividir por (x menos y menos seis)
- dy/dx=x+y+4/x-y-6
- dy dividir por dx=(x+y+4) dividir por (x-y-6)
-
Expresiones semejantes
- dy/dx=(x+y-4)/(x-y-6)
- dy/dx=(x+y+4)/(x-y+6)
- dy/dx=(x-y+4)/(x-y-6)
- dy/dx=(x+y+4)/(x+y-6)
-
Expresiones con funciones
- dy
- dy/dx-y=e^2x
- dy/dx=(1+(2y^2))/(y)(senx)
- dy/dx=5y+y^2
- dy/dx=2e^x-y
- dy/dx=cos(x-y)
- dx
- dx/dt=-kx+t
- dx/dt=4(x^2+1)
- dx/dt=4(x^2+1),(\pi/4)=1
- dx/dt=x-t^2
- dx/dy=(3x+xy^2)/(2y+x^2y)
Ecuación diferencial dy/dx=(x+y+4)/(x-y-6)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 4 + x + y(x) --(y(x)) = ------------- dx -6 + x - y(x)
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x + y{\left(x \right)} + 4}{x - y{\left(x \right)} - 6}$$
y' = (x + y + 4)/(x - y - 6)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{x + y{\left(x \right)} + 4}{x - y{\left(x \right)} - 6} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + 5}{x - 1}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 5$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- \frac{x}{x - \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 1} + \left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{\left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 5}{x - \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 1} + u{\left(x \right)} - \frac{4}{x - \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 1} = 0$$
o
$$\left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x - 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x - 1$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{\left(x - 1\right) \left(u{\left(x \right)} - 1\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x - 1}$$
o
$$\frac{du \left(u{\left(x \right)} - 1\right)}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x - 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u - 1}{u^{2} + 1}\, du = \int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(u \right)} = Const - \log{\left(x - 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + 5}{x - 1}$$
$$\frac{\log{\left(1 + \frac{\left(y{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{y{\left(x \right)} + 5}{x - 1} \right)} = Const - \log{\left(x - 1 \right)}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{x + y{\left(x \right)} + 4}{x - y{\left(x \right)} - 6} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + 5}{x - 1}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 5$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- \frac{x}{x - \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 1} + \left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{\left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 5}{x - \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 1} + u{\left(x \right)} - \frac{4}{x - \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 1} = 0$$
o
$$\left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x - 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x - 1$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{\left(x - 1\right) \left(u{\left(x \right)} - 1\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x - 1}$$
o
$$\frac{du \left(u{\left(x \right)} - 1\right)}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x - 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u - 1}{u^{2} + 1}\, du = \int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(u \right)} = Const - \log{\left(x - 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + 5}{x - 1}$$
$$\frac{\log{\left(1 + \frac{\left(y{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{y{\left(x \right)} + 5}{x - 1} \right)} = Const - \log{\left(x - 1 \right)}$$
Respuesta
[src]
/ _________________\
| / 2 |
| / (5 + y(x)) | /5 + y(x)\
log(-1 + x) = C1 - log| / 1 + ----------- | + atan|--------|
| / 2 | \ -1 + x /
\\/ (-1 + x) /
$$\log{\left(x - 1 \right)} = C_{1} - \log{\left(\sqrt{1 + \frac{\left(y{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{y{\left(x \right)} + 5}{x - 1} \right)}$$
Clasificación
linear coefficients
1st power series
lie group
linear coefficients Integral