Sr Examen
Ecuación diferencial y^2dx-2ydy=2xydy-4dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d d
y (x) - 2*--(y(x))*y(x) = -4 + 2*x*--(y(x))*y(x)
dx dx
$$y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 4$$
y^2 - 2*y*y' = 2*x*y*y' - 4
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 2 x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 4 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 4}{2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 4}{2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4} = - \frac{1}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4} = - \frac{dx}{x + 1}$$
o
$$- \frac{2 dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4} = - \frac{dx}{x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 y}{y^{2} + 4}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y^{2} + 4 \right)} = Const - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} x + C_{1} - 2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} x + C_{1} - 2}$$
$$- 2 x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 4 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 4}{2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 4}{2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4} = - \frac{1}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4} = - \frac{dx}{x + 1}$$
o
$$- \frac{2 dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4} = - \frac{dx}{x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 y}{y^{2} + 4}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y^{2} + 4 \right)} = Const - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} x + C_{1} - 2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} x + C_{1} - 2}$$
Respuesta
[src]
___ ________________ y(x) = -\/ 2 *\/ -2 + C1 + C1*x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} x + C_{1} - 2}$$
___ ________________ y(x) = \/ 2 *\/ -2 + C1 + C1*x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} x + C_{1} - 2}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral