Ecuación diferencial y''+6y'+5y=x^2-3

Tenemos la ecuación:
$$5 y{\left(x \right)} + 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x^{2} - 3$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 6$$
$$q = 5$$
$$s = 3 - x^{2}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 6 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -5$$
$$k_{2} = -1$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 5 x} + C_{2} e^{- x}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 5 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-5*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = x^{2} - 3$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 5 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} = x^{2} - 3$$
o
$$e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 5 e^{- 5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = x^{2} - 3$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\left(3 - x^{2}\right) e^{5 x}}{4}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 3\right) e^{x}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\left(3 - x^{2}\right) e^{5 x}}{4}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(x^{2} - 3\right) e^{x}}{4}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(- 25 x^{2} + 10 x + 73\right) e^{5 x}}{500}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(x^{2} - 2 x - 1\right) e^{x}}{4}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 5 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 5 x} + C_{4} e^{- x} + \frac{x^{2}}{5} - \frac{12 x}{25} - \frac{13}{125}$$
donde C3 y C4 hay son constantes